Solución Problema 2. Atar a Puppy en el jardín.

Dados los condicionantes que tenemos, sabemos que el punto donde debemos colocar la estaca es el punto medio del jardín. La forma de hallarlo es realizar las mediatrices de dos del los lados del jardín, ya que el punto en el que se corten dichas mediatrices será el punto que estamos buscando. Para ello, tal y como muestra la Figura 1, hemos realizado unos arcos desde tres de los vértices del jardín. El valor del radio de estos arcos es el mismo para los tres y mayor que la mitad de la longitud de los lados de los lados del jardín. Para dibujar las mediatrices simplemente hemos tenido que unir los puntos de corte de dichos arcos. Como se observa en la Figura 1, colocaremos la estaca en la intersección de ambas mediatrices.

Figura 1. Situación de la estaca en el jardín.

 En la Figura 2 se representa la longitud máxima que le podremos dar a la cuerda y el área de libertad que tendrá Puppy dentro del jardín.

Figura 2. Área de libertad de Puppy.

Problema 2. Atar a Puppy en el jardín.

En este problema nº 2 del blog nuestro protagonista vuelve a ser el perro del problema anterior, al que bautizaremos como Puppy. Pues bien, si hacemos memoria recordaremos que Puppy la semana pasada se fue a dar un baño al río ya que se escapó de nuestro jardín. Puppy fue capaz de escaparse ya que el vallado del jadín no tiene mucha altura y fue capaz de saltarlo. Pero no queremos que esto vuelva a suceder y por ello hemos decidido atarle a una estaca que tenemos que situar en algún punto del jardín que tiene la apariencia que se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Jardín de Puppy

Para decidir cual debe ser el punto donde clavar dicha estaca tenemos dos condicionantes que son los siguientes:

• Por un lado, queremos que nuestra mascota tenga la máxima libertad posible por lo que pretenderemos que la longitud de la cuerda sea máxima.
• Por otro lado, el vallado del recinto está recién pintado y no queremos que Puppy pueda alcanzarlo y estropearlo.

¿Cuál crees que es el punto donde tendríamos que clavar la estaca?

La mediatriz

¿Qué es la mediatriz?

La mediatriz de un segmento es la linea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.

¿Cómo se construye la mediatriz?

Para trazar la mediatriz de un segmento dado AB, se trazarán dos arcos de igual radio arbitrario (siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos del segmento. Los dos arcos se cortarán en dos puntos C y D que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.

Figura 1. Construcción de la mediatriz.

Problema 1 dinámico. Perro que cruza un río.

Solución Problema 1. Perro que cruza un río.

1. Para realizar el esquema de la situación consistente en el triángulo formado por los puntos ABC podemos observar el procedimiento en la Figura 2, que consiste en lo siguiente:

• Dibujamos ambas orillas del delta del río que forman un ángulo de 15º.
• Sabiendo que los puntos A y C están separados 5m podemos hallar a que altura del río se sitúa el perro y a que punto pretende llegar.
• Mediante un arco de circunferencia de 8m, valor del trayecto que realiza el perro en el agua, conoceremos el punto en el que el animal alcanza la orilla 1.

Figura 2

La Figura 3 representa de forma esquemática la distancia que el perro pretendía atravesar (A-C), el trayecto que realmente realiza por el agua (A-B) y la distancia que ha sido desviado medida sobre la orilla 1 (C-B).

Figura 3

2. El Teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados.  

Según el Teorema de Thales, si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales, es decir, se corresponden en igualdad, en la suma y en la resta. La descripción gráfica de esta idea la podemos visualizar en la Figura 4.

  

Figura 4

Las relaciones de proporcionalidad que establece el Teorema de Thales entre los lados homólogos de los dos triángulos semejantes obtenidos al realizar dos rectas paralelas sobre dos rectas cualesquiera son las siguientes:

• m/n = m'/n'
• m/n = (m+m')/(n+n')
• n/p = (n+n')/p'

En nuestro caso particular, las rectas paralelas p y p' se corresponden con las orillas del río, m+m' es la distancia que el perro pretende cruzar, mientras que n+n' es el trayecto que realmente realiza debido a la fuerte corriente del río. Tomando la segunda relación de proporcionalidad que hemos citado anteriormente tenemos que:

5/8 = (5+3)/ (n+n')

Por lo que el valor de la distancia que recorre el perro en esta situación es de 12'8m. 

3. Para calcular gráficamente el trayecto que realiza el perro en la situación en la que la orilla se aleja realizamos los siguientes pasos sobre el triángulo ABC, tal y como se muestra en la Figura 5.

• Situamos el segmento C-C' de 3m de longitud.
• Trazamos una recta paralela al segmento C-B que representa la orilla 2.
• Alargamos el segmento A-B hasta que corte con la orilla 2.

Figura 5

Tomando las medidas obtenidas por el método gráfico se comprueba que efectivamente el planteamiento y el resultado obtenido por el método matemático son correctos, ya que 8+4'8=12'8m



* ¿Serías capaz de calcular el trayecto que realizaría el perro sea cual sea el alejamiento de C' respecto a C?

Comprueba si tus respuestas con correctas en la siguiente Geometría Dinámica.

Problema 1. Perro que cruza un río.

Un perro se encuentra en uno de los márgenes del delta de un río cuyas orillas forman entre sí un ángulo de 15º, tal y como muestra la Figura 1. Este perro se dispone a cruzar el río entre los puntos A-C, cuya distancia tiene un valor de 5m, pero debido a la corriente del agua el animal alcanza la orilla (punto B) tras realizar un trayecto de 8m. Sabiendo que las dimensiones del esquema del enunciado no son reales, se pide:

1. Construir un esquema del caso a escala, que represente la anchura del río por la que el animal pretende cruzar, el trayecto que realiza y la desviación que se ha sufrido el animal.
2. Calcular matemáticamente, mediante el Teorema de Thales, el trayecto que realizaría por el agua en una situación similar pero considerando que la orilla 2 se aleja 3m de la orilla 1 debido a un aumento del calado causado por la lluvia, es decir, distancia B-B'. 
3. Comprobar gráficamente que el resultado obtenido mediante el método matemático es correcto.

Dato: Se considera que la intensidad de la corriente es la misma en ambas situaciones.

Figura 1

Solución!