Solución Problema 1. Perro que cruza un río.

1. Para realizar el esquema de la situación consistente en el triángulo formado por los puntos ABC podemos observar el procedimiento en la Figura 2, que consiste en lo siguiente:

• Dibujamos ambas orillas del delta del río que forman un ángulo de 15º.
• Sabiendo que los puntos A y C están separados 5m podemos hallar a que altura del río se sitúa el perro y a que punto pretende llegar.
• Mediante un arco de circunferencia de 8m, valor del trayecto que realiza el perro en el agua, conoceremos el punto en el que el animal alcanza la orilla 1.

Figura 2

La Figura 3 representa de forma esquemática la distancia que el perro pretendía atravesar (A-C), el trayecto que realmente realiza por el agua (A-B) y la distancia que ha sido desviado medida sobre la orilla 1 (C-B).

Figura 3

2. El Teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados.  

Según el Teorema de Thales, si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales, es decir, se corresponden en igualdad, en la suma y en la resta. La descripción gráfica de esta idea la podemos visualizar en la Figura 4.

  

Figura 4

Las relaciones de proporcionalidad que establece el Teorema de Thales entre los lados homólogos de los dos triángulos semejantes obtenidos al realizar dos rectas paralelas sobre dos rectas cualesquiera son las siguientes:

• m/n = m'/n'
• m/n = (m+m')/(n+n')
• n/p = (n+n')/p'

En nuestro caso particular, las rectas paralelas p y p' se corresponden con las orillas del río, m+m' es la distancia que el perro pretende cruzar, mientras que n+n' es el trayecto que realmente realiza debido a la fuerte corriente del río. Tomando la segunda relación de proporcionalidad que hemos citado anteriormente tenemos que:

5/8 = (5+3)/ (n+n')

Por lo que el valor de la distancia que recorre el perro en esta situación es de 12'8m. 

3. Para calcular gráficamente el trayecto que realiza el perro en la situación en la que la orilla se aleja realizamos los siguientes pasos sobre el triángulo ABC, tal y como se muestra en la Figura 5.

• Situamos el segmento C-C' de 3m de longitud.
• Trazamos una recta paralela al segmento C-B que representa la orilla 2.
• Alargamos el segmento A-B hasta que corte con la orilla 2.

Figura 5

Tomando las medidas obtenidas por el método gráfico se comprueba que efectivamente el planteamiento y el resultado obtenido por el método matemático son correctos, ya que 8+4'8=12'8m



* ¿Serías capaz de calcular el trayecto que realizaría el perro sea cual sea el alejamiento de C' respecto a C?

Comprueba si tus respuestas con correctas en la siguiente Geometría Dinámica.